수학1_행렬_행렬진위_교환법칙이 성립하는 경우_난이도 중

이차정사각행렬 전체의 집합 $U$ 에 대하여 집합 $X= \left \{ A \; \vert \; A^2 = A,\; A \in U \right \}$ 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, $E$ 는 단위행렬이고, $n$ 은 자연수이다.)

ㄱ. $A \in X$ 이면 $A^n \in X$ 이다.
ㄴ. $A \in X$ 이면 $(E-A)^n \in X$ 이다.
ㄷ. $A \in X ,\; B\in X$ 이면 $AB \in X$ 이다.

① ㄱ          ② ㄴ          ③ ㄱ, ㄴ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③



행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 5가지 경우

① 둘 중 하나 이상이 O 행렬인 경우  ex) AO=OA=O
② 둘 중 하나 이상이 단위 행렬인 경우 ex) AE=EA=A
③ 둘의 관계가 역행렬 관계인 경우
    더 나아가 둘의 곱이 단위 행렬의 실수배로 표현되는 경우
    ex) AB=BA=E, AB=BA=kE (k는 실수)
④ 행렬의 거듭제곱 ex) A²A³=A³A²
⑤ 한 행렬이 다른 행렬의 다항식 꼴로 표현될 때
    ex) B=A²+2A-3E 이면 AB=BA (직접 해 보세요)
    더 나아가 한 행렬이 다른 행렬의 일차식 꼴로 표현될 때
    ex) 케일리-헤밀턴 정리를 이용하면 위 예제에서 A²을 일차식으로 다운시킬 수 있다.