내적의 기하학적 의미 & 코사인법칙_난이도 상 (2025년 9월 고3 평가원 기하 30번)

 

 

좌표평면에 $\mathrm{AB} = \mathrm{AC} = 8\sqrt{5}$, $\mathrm{BC} = 16$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$, 선분 $\mathrm{CA}$ 위의 점 $\mathrm{R}$이 다음 조건을 만족시킨다.  

 

(가) $(\overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PQ}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = (\overrightarrow{\mathrm{RC}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0$  
(나) $\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}} = |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$  

 

$\left |3\overrightarrow{\mathrm{XP}} + \overrightarrow{\mathrm{XR}} \right | =\left |\overrightarrow{\mathrm{PR}} \right |$을 만족시키는 점 $\mathrm{X}$에 대하여 $\left |\overrightarrow{\mathrm{BX}} \right |$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하시오. (단, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| > 0$)

 

정답 $69$