넓이와 정적분 & 접선의 방정식과 미분_난이도 중 (2025년 7월 고3 21번)

 

 

함수 $f(x)=-x^2+kx$ ($k>0$)의 그래프 위에 있는 제1사분면 위의 점 $\mathrm{A}(a, \;f(a))$ $\left (a>\dfrac{k}{2} \right )$에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$라 하고, 직선 $y=g(x)$의 $x$절편을 $b$라 하자. 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 삼각형 $\mathrm{AOH}$의 넓이를 $S$라 할 때, 두 함수 $f(x), g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\displaystyle \int_a^b g(x)dx = S$

(나) $\displaystyle \int_0^a \left \{f(x)-\dfrac{1}{2}ax \right \}dx = \dfrac{32}{3}$

 

$g(-k)$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $k$는 상수이다.) 

 

정답 $28$