몫의 미분법 & 접선의 방정식과 미분_난이도 상 (2025년 7월 고3 미적분 28번)

 

 

실수 $a$에 대하여 함수 $$f(x) = \begin{cases}\dfrac{\ln(-x)}{x} & (x < 0) \\[5pt] -x^2+2x+a & (x \ge 0)\end{cases}$$ 이다. 실수 $t$ ($0 < t < 2$)에 대하여 $f'(x)=t$를 만족시키는 음수 $x$의 값을 $g(t)$라 하고, 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $a$의 값을 $h(t)$라 하자.

 

$k \ge a$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=tx+k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$이다.

 

$g(1)+h'(1)$의 값은? (단, $\lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$) [4점]

① $\dfrac{1}{3}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $\dfrac{2}{3}$          ④ $\dfrac{5}{6}$          ⑤ $1$

 

정답 ②