그래프의 개형&몫의 미분법_난이도 상 (2025년 6월 고3 미적분 30번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$g(x) = \left |f \left( \dfrac{2}{1 + e^{-x}} \right) \right |$$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 극소이고, $g(0) > 0$이다.

(나) $g'(\ln 3) < 0$, $|g'(-\ln 3)| = \dfrac{3}{8}g(-\ln 3)$

 

$g(0)$의 최솟값을 $\dfrac{q}{p}$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$과 $q$는 서로소인 자연수이다.)

 

 

정답 $25$