그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c,\; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$($c > 0$)을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제
$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 원점 $\mathrm{O}$를 지나고 선분 $\mathrm{F'P}$와 평행한 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\overline{\mathrm{F'Q}} = \overline{\mathrm{QP}}$, $\overline{\mathrm{OQ}} = 2$이고 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 $3$일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는 $p + q\sqrt{13}$이다. $p^2 + q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 유리수이다.)
