그림과 같이 직선 $y = x$ 위의 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 $x$축과 만나지 않는 원 $C$에 대하여 원점 $\mathrm{O}$를 지나고 원 $C$에 접하는 두 직선 중 기울기가 작은 직선을 $l : y = mx$라 하자. 원 $C$와 직선 $y = x$의 교점 중 $x$좌표가 작은 것을 $\mathrm{P_1}$, $x$좌표가 큰 것을 $\mathrm{P_2}$라 하면 $\overline{\mathrm{OP_1}} = 2$이다. 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P_1}$에서의 접선과 직선 $l$의 교점을 $\mathrm{Q_1}$, 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P_2}$에서의 접선과 직선 $l$의 교점을 $\mathrm{Q_2}$라 하면 삼각형 $\mathrm{AQ_2P_2}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{AP_1Q_1}$의 넓이의 $4$배이다. $m = \dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$는 제$1$사분면 위의 점이고, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.)
