그림과 같이 $1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; k$ 에 대하여 곡선 $y=a^x +k$ 와 직선 $y=3x+2$ 가 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만난다. 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 기울기가 $-1$ 인 직선이 곡선 $y=\log_a(x-k)$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$, 직선 $y=3x+2$ 가 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}}$ 이고 $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CD}}$ 일 때, $a \times k$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표보다 크다.)
① $4\sqrt{2}$ ② $5\sqrt{3}$ ③ $12$ ④ $7\sqrt{5}$ ⑤ $8\sqrt{6}$
