점과 직선 사이의 거리_난이도 하 (2024년 9월 전국연합 고1 13번)

 

 

점 $(1, \; 3)$ 을 지나고 기울기가 $k$ 인 직선 $l$ 이 있다. 원점과 직선 $l$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$ 일 때, 양수 $k$ 의 값은?

 

① $\dfrac{1}{4}$          ② $\dfrac{3}{8}$          ③ $\dfrac{1}{2}$          ④ $\dfrac{5}{8}$          ⑤ $\dfrac{3}{4}$

 

정답 ③

직선 $l$ 의 방정식은 $y-3=k(x-1)$ 이므로 일반형으로 나타내면 $kx-y-k+3=0$

원점으로부터 직선 $l$ 까지의 거리는 $$\dfrac{|-k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}$$

양변에 $\sqrt{k^2+1}$ 을 곱한 후에, 양변을 제곱해주면 $k^2-6k+9=5k^2+5$

정리하면 $4k^2+6k-4=0 \quad \Rightarrow \quad 2k^2 +3k -2 = (2k-1)(k+2)=0$ 이므로

$k=\dfrac{1}{2}$ 또는 $k=-2$

따라서 양수 $k$ 의 값은 $\dfrac{1}{2}$