등비급수_난이도 상 (2024년 5월 전국연합 고3 미적분 30번)

 

 

수열 $\{a_n\}$ 은 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} a_n & \left ( \left |a_n \right | < \alpha \right ) \\[5pt] -\dfrac{5}{a_n} & \left ( \left | a_n \right | \ge \alpha \right ) \end{cases} \quad (\alpha \text{ 는 양의 상수})$$ 라 할 때, 두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n \}$ 과 자연수 $p$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n = 4$

(나) $\sum \limits_{n=1}^m \dfrac{a_n}{b_n}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$ 은 $p$ 이고, $\sum \limits_{n=1}^p b_n = 51$, $\sum \limits_{n=p+1}^\infty b_n =\dfrac{1}{64}$ 이다.

 

$32 \times (a_3 + p)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $138$