수학1_수열_여러 가지 수열_여러 가지 합공식_난이도 중

두 수열 $\{a_n\},\; \{ b_n\}$ 에 대하여$b_n=\frac {a_1 +2a_2 +3a_3 + \cdots + na_n}{1+2+\cdots+n}\;\;\; (n \ge 1)$ 이 성립한다. 다음은 $\{a_n\}$ 이 등차수열이기 위한 필요충분조건은 $\{b_n\}$ 이 등차수열임을 증명하는 과정이다.

수열 $\{a_n\}$ 을 첫째항 $a$, 공차 $d$ 인 등차수열이라 하면

$b_n = {\dfrac{a+2(a+d)+3(a+2d)+\cdots+n \left \{ a+(n-1)d \right \}}{1+2+\cdots+n} }$

     $={\dfrac{a(1+2+\cdots+n)+d \{2+3\cdot 2+ \cdots + n \cdot (n-1)\} }{1+2+\cdots+n}}$ 

     $=a+{\dfrac {2d \left \{ (가)- {\dfrac{n(n+1)}{2}} \right \} }{n(n+1)}}$ 

     $= a+(나) \cdot (n-1)$

이므로 $\{b_n\}$ 은 공차가 (나) 인 등차수열이다.
역으로 $\{b_n\}$ 을 등차수열이라 하면

$b_{n+1} = {\dfrac{a_1 +2a_2 + 3a_3 +\cdots + na_n }{1+2+\cdots+(n+1)}} + {\dfrac{(n+1) a_{n+1}}{1+2+\cdots+(n+1)}}$

        $=(다) \cdot b_n + {\dfrac {2}{n+2}} a_{n+1}$
  $\vdots$
이므로 수열 $\{a_n\}$ 은 등차수열이다. 

위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
$①$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	$\frac{2}{3} d$	$\frac{n}{n+2}$
$②$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	$\frac{2}{3} d$	$\frac{n-1}{n+2}$
$③$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$	$\frac{3}{2} d$	$\frac{n}{n+2}$
$④$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$	$\frac{2}{3} d$	$\frac{n}{n+2}$
$⑤$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$	$\frac{3}{2} d$	$\frac{n+1}{n+2}$

정답 ①