하나의 주머니와 두 상자 $\mathrm{A, \; B}$ 가 있다. 주머니에는 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 가 하나씩 적힌 $4$ 장의 카드가 들어 있고, 상자 $\mathrm{A}$ 에는 흰 공과 검은 공이 각각 $8$ 개 이상 들어 있고, 상자 $\mathrm{B}$ 는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 $\mathrm{A, \; B}$ 를 사용하여 다음 시행을 한다.
주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.
확인한 수가 $1$ 이면
상자 $\mathrm{A}$ 에 있는 흰 공 $1$ 개를 상자 $\mathrm{B}$ 에 넣고,
확인한 수가 $2$ 또는 $3$ 이면
상자 $\mathrm{A}$ 에 있는 흰 공 $1$ 개와 검은 공 $1$ 개를 상자 $\mathrm{B}$ 에 넣고,
확인한 수가 $4$ 이면
상자 $\mathrm{A}$ 에 있는 흰 공 $2$ 개와 검은 공 $1$ 개를 상자 $\mathrm{B}$ 에 넣는다.
이 시행을 $4$ 번 반복한 후 상자 $\mathrm{B}$ 에 들어 있는 공의 개수가 $8$ 일 때, 상자 $\mathrm{B}$ 에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$ 일 확률은?
① $\dfrac{3}{70}$ ② $\dfrac{2}{35}$ ③ $\dfrac{1}{14}$ ④ $\dfrac{3}{35}$ ⑤ $\dfrac{1}{10}$
