함수의 그래프와 미분 & 치환적분_난이도 상 (2023년 11월 수능 미적 28번)

 

 

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge 0$ 이고, $x<0$ 일 때 $f(x)=-4xe^{4x^2}$ 이다. 모든 양수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=t$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$ 라 하자. 

두 함수 $g(t), \; h(t)$ 는 모든 양수 $t$ 에 대하여 $2g(t)+h(t)=k \; (k\text{ 는 상수})$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \int_0^7 f(x) dx = e^4 -1$ 일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{3}{2}e^5$          ② $\dfrac{4}{3}e^7$          ③ $\dfrac{5}{4}e^9$          ④ $\dfrac{6}{5}e^{11}$          ⑤ $\dfrac{7}{6}e^{13}$

 

정답 ②