그림과 같이 좌표평면 위에 두 원 $$\begin{aligned} C_1 &: (x-8)^2+(y-2)^2=4, \\ C_2 &: (x-3)^2+(y+4)^2=4\end{aligned}$$ 와 직선 $y=x$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}$ 는 원 $C_1$ 위에 있고, 점 $\mathrm{B}$ 는 원 $C_2$ 위에 있다. 점 $\mathrm{P}$ 는 $x$ 축 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $y=x$ 위에 있을 때, $\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QB}}$ 의 최솟값은? (단, 세 점 $\mathrm{A, \; P, \; Q}$ 는 서로 다른 점이다.)
