점과 직선 사이의 거리_난이도 중 (2020년 3월 전국연합 고2 18번)

 

 

좌표평면의 제$1$사분면에 있는 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 와 원점 $\mathrm{O}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 무게중심 $\mathrm{G}$ 의 좌표는 $(8, \; 4)$ 이고, 점 $\mathrm{B}$ 와 직선 $\mathrm{OA}$ 사이의 거리는 $6\sqrt{2}$ 이다.

다음은 직선 $\mathrm{OB}$ 의 기울기가 직선 $\mathrm{OA}$ 의 기울기보다 클 때, 직선 $\mathrm{OA}$ 의 기울기를 구하는 과정이다.

 

선분 $\mathrm{OA}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하자.

점 $\mathrm{G}$ 가 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 무게중심이므로 $$\mathrm{\overline{BG}:\overline{GM}}=2:1$$ 이고, 점 $\mathrm{B}$ 와 직선 $\mathrm{OA}$ 사이의 거리가 $6\sqrt{2}$ 이므로 점 $\mathrm{G}$ 와 직선 $\mathrm{OA}$ 사이의 거리는 $\boxed{ (가) }$ 이다.

직선 $\mathrm{OA}$ 의 기울기를 $m$ 이라 하면 점 $\mathrm{G}$ 와 직선 $\mathrm{OA}$ 사이의 거리는 $$\dfrac{\boxed{ (나) }}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}$$ 이고 $\boxed{ (가) }$ 와 같다. 즉, $$\boxed{ (나) } = \boxed{ (가) } \times \sqrt{m^2+1}$$ 이다. 양변을 제곱하여 $m$ 의 값을 구하면 $$m= \boxed{   {}^{}    } \text{  또는  } m=\boxed{   {}^{}    }$$ 이다.

이때 직선 $\mathrm{OG}$ 의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$ 이므로 직선 $\mathrm{OA}$ 의 기울기는 $\boxed{ (다) }$ 이다.  

 

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 하고, (나)에 알맞은 식을 $f(m)$ 이라 할 때, $\dfrac{f(q)}{p^2}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{2}{7}$          ② $\dfrac{5}{14}$          ③ $\dfrac{3}{7}$          ④ $\dfrac{1}{2}$          ⑤ $\dfrac{4}{7}$

 

정답 ②