이차방정식과 이차함수의 그래프_난이도 중 (2018년 11월 교육청 고1 29번)

 

 

자연수 $n$ 에 대하여 이차함수 $y=2x^2$ 의 그래프와 직선 $y=nx$ 의 교점 중 원점이 아닌 점을 $\rm A$, 이차함수 $y=2x^2$ 의 그래프와 직선 $y=(n+2)x$ 의 교점 중 원점이 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 다음은 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이를 $S(n)$ 이라 할 때, $S(n)>100$ 을 만족시키는 $n$ 의 최솟값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

 

이차함수 $y=2x^2$ 의 그래프와 직선 $y=nx$ 의 교점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표를 구하면 $2x^2=nx \; (x \ne 0)$ 에서 $x=\dfrac{n}{2}$ 이다. 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 직선 $y=(n+2)x$ 와 만나는 점을 $\rm A'$ 이라 하자. 이때, 선분 $\rm AA'$ 의 길이는 $$\overline{\rm AA'}=\boxed{ (가) } - \dfrac{n^2}{2}$$ 이므로 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이 $S(n)$ 은 $$S(n)=\dfrac{1}{2} \times n \times \left ( \boxed{ (나) } \right )$$ 이다. 따라서 $S(n)>100$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값은 $\boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f(k)+g(k)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $231$