원과 직선&중3 원의 성질_난이도 중 (2022년 11월 전국연합 고1 20번)

 

 

양수 $k$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(k, \; 0)$, ${\rm B}(0, \; k)$ 가 있다. 삼각형 $\rm OAB$ 의 내부에 있으며 $\angle \rm AOP = \angle \rm BAP$ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 에 대하여 점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표의 최댓값을 $M(k)$ 라 하자. 다음은 $M(k)$ 를 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $\angle \rm AOP<180^{\rm o}$, $\angle \rm BAP<180^{\rm o}$ 이다. )

 

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 

그러므로 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $\rm AB$ 와 점 $\rm A$ 에서 접하는 원을 $C$ 라 할 때, 삼각형 $\rm OAB$ 의 내부에 있으며$\rm \angle AOP = \angle BAP$ 를 만족시키는 점 $\rm P$ 는 원 $C$ 위의 점이다.

원 $C$ 의 중심을 $\rm C$ 라 하면 $\rm \angle OAC=45^{\rm o}$ 이므로 점 $\rm C$ 의 좌표는 $\left ( \dfrac{k}{2}, \; \boxed{ (가) } \right )$ 이고 원 $C$ 의 반지름의 길이는 $\boxed{ (나) }$ 이다.

점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표는 $\rm \angle PCO=45^{\rm o}$ 일 때 최대이므로 $M(k)= \left ( \boxed { (다) } \right ) \times k$ 이다. 

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(p)+g\left (\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값은?

 

① $\dfrac{\sqrt{2}}{16}$          ② $\dfrac{1}{8}$          ③ $\dfrac{\sqrt{2}}{8}$          ④ $\dfrac{1}{4}$          ⑤ $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

 

정답 ④