함수의 그래프와 미분&치환적분_난이도 상 (2022년 사관학교 22번)

최고차항의 계수가 정수인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(1)=1, \; f'(1)=0$ 이다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)+|f(x)-1|$$ 이라 할 때, 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 함수 $f(x)$ 의 개수를 구하시오.

 

(가) 두 함수 $y=f(x), \; y=g(x)$ 의 그래프의 모든 교점의 $x$ 좌표의 합은 $3$ 이다.

(나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n < \displaystyle \int_0^n g(x)dx < n+16$ 이다.

 

정답 $11$