삼수선의 정리&이면각의 크기_난이도 상 (2022년 7월 전국연합 고3 기하 30번)

공간에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구와 점 $\rm O$ 를 지나는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA, \; BC$ 가 서로 수직일 때, 구 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\angle {\rm PAO} = \dfrac{\pi}{3}$

(나) 점 $\rm P$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $\rm OA$ 위에 있다.

 

$\cos (\angle {\rm PAB})=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ 일 때, 삼각형 $\rm PAB$ 의 평면 $\rm PAC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 하자. $30 \times S^2$ 의 값을 구하시오. (단, $0 <\angle {\rm BAC} < \dfrac{\pi}{2}$ )

 

정답 $50$