두 직선의 수직조건&점과 직선 사이의 거리_난이도 상 (2022년 9월 전국연합 고1 19번)

좌표평면 위에 네 점 $\rm A(-1, \; 4)$, $\rm B(-3, \; 0)$, $\rm C(0, \; -2)$, $\rm D(1, \; 3)$ 이 있다. 다음은 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 각각 네 변 $\rm PQ, \; QR, \; RS, \; SP$ 위에 있도록 하는 정사각형 $\rm PQRS$ 의 한 변의 길이를 구하는 과정이다.

 

 

점 $\rm A$ 를 지나고 두 점 $\rm B$ 와 $\rm D$ 를 지나는 직선에 수직인 직선 $l_1$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (가) }$ 이다.

점 $\rm A$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BD}$ 인 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 와 직선 $l_1$ 이 만나는 두 점 중 점 $\rm C$ 와의 거리가 더 작은 점을 $\rm E$ 라 하고, 두 점 $\rm C$ 와 $\rm E$ 를 지나는 직선을 $l_2$ 라 하면 직선 $l_2$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (나) }$ 이다. 

 

 

두 점 $\rm B$ 와 $\rm D$ 에서 직선 $l_2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm R, \; S$ 라 하자. 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $l_2$ 와 평행한 직선을 $l_3$ 이라 하고, 두 점 $\rm B$ 와 $\rm D$ 에서 직선 $l_3$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm Q, \; P$ 라 하자.

사각형 $\rm PQRS$ 는 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 각각 네 변 $\rm PQ, \; QR, \; RS, \; SP$ 위에 있고 한 변의 길이가 $\overline{\rm PQ}=\overline{\rm QR} = \boxed{ (다) }$ 인 정사각형이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $\alpha$ 라 할 때, $\dfrac{3}{4}f(\alpha) - g(\alpha)$ 의 값은?

 

① $4-3\sqrt{2}$          ② $4-4\sqrt{2}$          ③ $4-5\sqrt{2}$

④ $4-6\sqrt{2}$          ⑤ $4-7\sqrt{2}$

 

정답 ⑤