좌극한과 우극한&극한의 성질_난이도 상 (2022년 9월 전국연합 고2 29번)

양수 $m$ 과 $0$ 이 아닌 실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} x^2+(a-1)x-a^2+2 & (x \le 2m) \\ -3x+4a & (x>2m) \end{cases} \\[15pt] g(x) &= \begin{cases} ax-a & (x \le m+1) \\ x-a+1 & (x>m+1) \end{cases} \end{aligned}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\lim \limits_{x \to \alpha -} f(x) \ne \lim \limits_{x \to \alpha +} f(x), \; \lim \limits_{x \to \beta-} g(x) \ne \lim \limits_{x \to \beta+}g(x)$ 인 실수 $\alpha, \; \beta$ 가 존재한다.

(나) 모든 실수 $k$ 에 대하여 $\lim \limits_{x \to k} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 의 값이 존재한다.

 

$m+g\left (a^2 \right )$ 의 값을 구하시오. 

 

정답 $4$