삼차함수의 그래프와 미분 & 함수의 연속과 불연속_난이도 상 (2022년 4월 전국연합 고3 20번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에  대하여 $f(-x)=-f(x)$ 를 만족시킨다. 양수 $t$ 에 대하여 좌표평면 위의 네 점 $(t, \; 0)$, $(0, \; 2t)$, $(-t, \; 0)$, $(0, \; -2t)$ 를 꼭짓점으로 하는 마름모가 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 는 $t=\alpha, \; t=8$ 에서 불연속이다. $\alpha^2 \times f(4)$ 의 값을 구하시오. (단, $\alpha$ 는 $0<\alpha<8$ 인 상수이다.)

 

정답 $240$