직선의 방정식_난이도 하 (2021년 9월 전국연합 고1 18번)

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(0, \; 1)$, ${\rm B}(1, \; 0)$ 이 있다. 양수 $n$ 과 원점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OA$ 를 $1:n$ 으로 내분하는 점을 $\rm P$, 선분 $\rm OB$ 를 $1:n$ 으로 내분하는 점을 $\rm Q$, 선분 $\rm AQ$ 와 선분 $\rm BP$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. 다음은 사각형 $\rm POQR$ 의 넓이가 $\dfrac{1}{42}$ 일 떄, $n$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

점 $\rm P$ 의 좌표는 $\left ( 0, \; \dfrac{1}{n+1} \right )$ , 점 $\rm Q$ 의 좌표는 $\left ( \dfrac{1}{n+1}, \; 0 \right )$ 이다.

직선 $\rm AQ$ 의 방정식은 $y=-(n+1)x+1$, 직선 $\rm BP$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (가) } \times x + \dfrac{1}{n+1}$ 이다. 

두 직선 $\rm AQ, \; BP$ 가 만나는 점 $\rm R$ 의 $x$ 좌표는 $\boxed{ (나) }$ 이고, 삼각형 $\rm OPR$ 의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{n+1} \times \boxed{ (나) }$ 이다.

두 삼각형 $\rm OPR$ 와 삼각형 $\rm QOR$ 에서 선분 $\rm OR$ 가 공통이고, $\overline{\rm OP} = \overline{\rm OQ}$, $\angle \rm POR = \angle \rm QOR$ 이므로 삼각형 $\rm POR$ 와 삼각형 $\rm QOR$ 는 합동이다.

따라서 사각형 $\rm POQR$ 의 넓이는 삼각형 $\rm POR$ 의 넓이의 $2$ 배이므로 $n= \boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $\dfrac{g(k)}{f(k)}$ 의 값은?

 

① $-\dfrac{5}{7}$          ② $-\dfrac{6}{7}$          ③ $-1$          ④ $-\dfrac{8}{7}$          ⑤ $-\dfrac{9}{7}$

 

정답 ②