정적분 형태로 표현된 함수_난이도 중상 (2021년 8월 교육청 고3 15번)

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\begin{cases} -|x|+a & (x<1) \\ x^2 +a-2 & (x \ge 1) \end{cases}$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)= \displaystyle \int_1^x f(t) dt$ 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

 

ㄱ. $g'(1)=g(1)$ 이면 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극값을 갖는다.

ㄴ. 함수 $g(x)$ 가 $x=-1$ 에서 극소이면 방정식 $g(x)=0$ 의 모든 실근의 합은 $-\sqrt{2}$ 이다. 

ㄷ. 함수 $g(x)$ 가 극댓값 $\dfrac{1}{8}$ 을 가지면 함수 $g(x)$ 가 $x=k$ 에서 극소인 모든 실수 $k$ 의 값의 곱은 $-\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ 이다.

 

① ㄴ          ② ㄷ          ③ ㄱ, ㄴ          ④ ㄱ, ㄷ          ⑤ ㄴ, ㄷ

 

정답 ⑤