두 곡선 사이의 넓이&접선의 방정식_난이도 중 (2021년 8월 교육청 고3 13번)

그림과 같이 구간 $[0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $f(x)=x^3-ax \; (a>0)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=2ax$ 가 만나는 점 중 원점 $\rm O$ 가 아닌 점을 $\rm A$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 ${\rm P}(t, \; f(t)) \; \left ( 0<t<\sqrt{3}a \right )$ 에 대하여 선분 $\rm OP$ 와 곡선 $y=f(x)$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm AP$ 와 곡선 $y=f(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이의 합을 $S(t)$ 라 하자. 함수 $S(t)$ 가 $t=1$ 에서 최솟값 $m$ 을 가질 때, $m$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.)

① $\dfrac{5}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$          ② $\dfrac{7}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$          ③ $\dfrac{9}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$          ④ $\dfrac{7}{4}-\sqrt{3}$          ⑤ $\dfrac{9}{4}-\sqrt{3}$

 

정답 ⑤