삼차함수 그래프의 개형&삼각함수의 그래프&극대와 극소_난이도 상 (2020년 12월 수능 가형 30번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f \left (\sin ^2 \pi x \right )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $0<x<1$ 에서 함수 $g(x)$ 가 극대가 되는 $x$ 의 개수가 $3$ 이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.

(나) 함수 $g(x)$ 의 최댓값은 $\dfrac{1}{2}$ 이고 최솟값은 $0$ 이다.

 

$f(2)=a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.)

 

정답 $29$