도형과 등비급수_난이도 중상 (2020년 11월 교육청 고3 가형 18번)

한 변의 길이가 $6$ 이고 무게중심이 $\rm O$ 인 정삼각형 $\rm A_1 B_1 C_1$ 이 있다. 그림과 같이 점 $\rm O$ 를 중심으로 하는 원이 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1$ 의 세 변과 만나는 점을 각각 $\rm A_1, \; D_1, \; B_2, \; E_1, \; C_2, \; F_1$ 이라 할 때, $\angle \rm A_2OF_1=30^o$ 가 되는 원을 $O_1$ 이라 하고, 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1 $ 의 내부와 원 $O_1$ 의 외부의 공통부분, 정삼각형 $\rm A_1 B_1C_1$ 의 외부와 원 $O_1$ 의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 점 $\rm O$ 를 중심으로 하는 원지 정삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 의 세 변과 만나는 점을 각각 $\rm A_3, \; D_2, \; B_3, \; E_2, \; C_3, \; F_2$ 라 할 때, $\angle \rm A_3 OF_2 = 30^o$ 가 되는 원을 $O_2$ 라 하고, 정삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 의 내부와 원 $O_2$ 의 외부의 공통부분, 정삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 의 외부와 원 $O_2$ 의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

① $6 \left ( \pi +3\sqrt{3}-3 \right )$          ② $6 \left ( \pi +3\sqrt{3}-4 \right )$          ③ $6 \left ( \pi +3\sqrt{3}-5 \right )$

④ $6 \left ( \pi +3\sqrt{3}-6 \right )$          ⑤ $6 \left ( \pi +3\sqrt{3}-7 \right )$

 

정답 ④