공간도형&삼수선의 정리_난이도 상 (2019년 11월 수능 가형 29번)

좌표공간에서 두 점 ${\rm A}(3, \; -3, \; 3)$, ${\rm B}(-2, \; 7, \; -2)$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 를 포함하고 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 에 접하는 두 평면을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 와 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 접점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $29$