이차함수의 그래프와 이차방정식_난이도 상 (2017년 3월 고2 가형 30번)

일차함수 $f(x)$ 와 이차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $g(x)$ 에 대하여 두 함수 $$h_1(x) = f(x)+g(x), \;\; h_2(x)=f(x)-g(x)$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $y=h_1(x)$ 의 그래프는 $x$ 축에 접한다.

(나) 함수 $y=h_1(x)$ 의 그래프와 함수 $y=h_2(x)$ 의 그래프는 오직 한 점 $(1, \; 9)$ 에서 만난다.

(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $h_1(x) \ge h_1(\alpha), \;\; h_2(x) \le h_2(\beta)$ 가 성립할 때, $\alpha > \beta$ 이다. 

$f(\beta) \times g(\alpha)$ 의 값을 구하시오.  (단, $\alpha, \; \beta$ 는 상수이다.)

정답 $243$