중복조합_난이도 중 (2019년 4월 교육청 고3 나형 29번)

 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. 

(가) $a, \; b, \; c$ 는 모두 짝수이다.

(나) $a \times b \times c = 10^5$ 

정답 $126$

$abc = 10^5 = 2^5 \times 5^5$ 이다. 

따라서 다섯 개의 $2$ 와 다섯 개의 $5$ 를 $a, \; b, \; c$ 각각에 나눠주는 것으로 생각하면 된다.

그련데 $a, \; b, \; c$ 가 모두 짝수이어야 하므로 $a, \; b, \; c$ 각각의 인수에는 하나 이상의 $2$ 가 포함되어야 한다.

따라서 다섯 개의 $2$ 중에서 세 개를 $a, \; b, \; c$ 각각 하나씩 나눠주고 나머지 두 개의 $2$와 다섯 개의 $5$ 를 $a, \; b, \; c$ 에 나눠주면 된다.

먼저 두 개의 $2$ 를 $a, \; b, \;c$ 에 나눠주는 것은 $a, \; b, \; c$ 중 순서를 고려하지 않고 중복을 허락하여  $2$ 개를 뽑는 중복조합의 수로 생각할 수 있다.

예를 들어, $ab$ 가 뽑히면 $2$ 를 $a$ 에 하나 $b$ 에 하나 나눠주는 것으로 생각하면 되고, $aa$ 가 뽑히면 $2$ 두 개를 모두 $a$ 에 주는 것으로 생각하면 된다. 결국 경우의 수는 $_3 {\rm H}_2 = {}_4 {\rm C}_2 = 6$ 가지가 된다.

같은 방법으로 다섯 개의 $5$ 를 $a, \; b, \;c$ 에 나눠 주는 방법은 $_3 {\rm H}_5 ={} _7 {\rm C}_5 = 21$ 가지가 된다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $6 \times 21 = 126$ 개가 된다.