삼각함수 덧셈정리_난이도 중상 (2018년 11월 전국연합 고2 가형 29번)

그림과 같이 $\overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=10$, $\overline{\rm BC}=12$ 인 이등변삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 위에 $\angle {\rm DCB}=\theta$, $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ 이 되도록 점 $\rm D$ 를 잡고, 선분 $\rm AC$ 위에 $\angle {\rm EBA}=2 \theta$ 가 되도록 점 $\rm E$ 를 잡는다. 선분 $\rm BE$ 와 선분 $\rm CD$ 가 만나는 점을 $\rm F$, 점 $\rm F$ 에서 선분 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 선분 $\rm FH$ 의 길이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $43$