기하와 벡터_공간도형_난이도 상

평면 $\alpha$ 위에 한 변의 길이가 $16$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있고, 세 꼭짓점 $\rm A, \; B, \; C$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $8$ 인 세 원 $A,\; B, \; C$ 가 있다. 세 원 $A, \; B, \; C$ 를 각각 밑면으로 하고 높이가 모두 $15$ 인 세 원뿔의 꼭짓점을 각각 $\rm A', \; B',\; C'$ 라 할 때, 세 점 $\rm A', \; B', \; C'$ 을 지나는 평면을 $\beta$ 라 하자. 평면 $\beta$ 에 접하고 세 원뿔에 모두 접하는 구의 반지름의 길이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $21$