(이과) 두 평면이 이루는 각_난이도 상

그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 $1, \; 3$ 인 두 원을 각각 밑면으로 하는 두 원기둥의 사이에 반지름의 길이가 $1$ 인 구 $12$ 개가 서로 외접하면서 들어 있다. 아래쪽에 있는 $6$ 개의 구 중에서 서로 외접하는 두 구를 $S_1, \; S_2$ 라고 하고 위쪽에 있는 구 중에서 구 $S_1 \; S_2$ 에 모두 접하는 구를 $S_3$, 두 구 $S_2, \; S_3$ 에 모두 접하는 $S_1$ 이 아닌 구를 $S_4$ 라고 하자. 네 구 $S_1, \; S_2, \; S_3, \; S_4$ 의 중심을 각각 $\rm O_1, \; O_2, \; O_3, \; O_4$ 라고 할 때, 평면 $\rm O_1O_2O_3$ 와 평면 $\rm O_2O_3O_4$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라고 하자. $\cos \theta$ 의 값은? (단, 아래쪽에 있는 $6$ 개의 구는 반지름의 길이가 $3$ 인 원을 밑면으로 하는 원기둥의 밑면에 모두 접하고, 위쪽에 있는 구는 모두 아래쪽에 있는 구 $2$ 개와 각각 외접하며, 두 원기둥의 높이는 모두 $3$ 이상이다.)

① $\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$          ② $\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$          ③ $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$          ④ $\dfrac{2\sqrt{3}-2}{3}$          ⑤ $\dfrac{2\sqrt{3}-1}{3}$ 

정답 ⑤