(이과) 벡터 내적의 최솟값_난이도 상 (2017년 6월 평가원 가형 29번)

좌표평면에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 한 점을 $\rm A$, 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원 위의 한 점을 $\rm B$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OP} = 3 \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP}$ 

(나) $\left | \overrightarrow{\rm PA} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\rm PB} \right |^2 = 20$

$\overrightarrow{\rm PA} \cdot \overrightarrow{\rm PB}$ 의 최솟값은 $m$ 이고 이때 $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | =k$ 이다. $m+k^2$ 의 값을 구하시오. 

정답 $7$