(이과) 내적의 기하학적 의미&성분을 이용한 내적_난이도 중

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. $\left | \overrightarrow{\rm OA} \right | = 1$ 일 때, 반원 위의 두 점 $\rm C, \; D$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overrightarrow{\rm OC} \cdot \overrightarrow{\rm BA}=1$

(나) $\left | \overrightarrow{\rm OC}- \overrightarrow{\rm OD} \right | = \sqrt{2}$

$\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm BD} = a + b \sqrt{3}$ 일 때, $32 \left (a^2 +b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.)

정답 $16$