이차부등식_난이도 중

자연수 $n$ 에 대하여 이차부등식 $x^2+x-\dfrac{7}{4}-n<0$ 을 만족시키는 정수 $x$ 중에서 가장 큰 수를 $a_n$ 이라 하자. $a_n - a_{10}=2$ 를 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

정답 $47$

근의 공식을 이용하여 부등식을 풀어보면 $$\dfrac{-1-\sqrt{4n+8}}{2} < x < \dfrac{-1+\sqrt{4n+8}}{2}$$ 이 됩니다. 이 범위에 들어오는 정수 $x$ 중 가장 큰 수가 $a_n$ 이 되고, 따라서 우리는 $\dfrac{-1+\sqrt{4n+8}}{2}$ 쪽에만 관심을 가지면 됩니다. 결국 $a_{10}$ 은 $\dfrac{-1+\sqrt{48}}{2}$ 보다 작은 최대의 정수이므로 $2$ 가 됨을 알 수 있습니다. 

문제의 조건에서 $a_n-a_{10}=2$ 라고 했으므로 $a_n=4$ 가 되는 $n$ 의 값들을 찾으면 됩니다. 이 경우 다음의 부등식을 만족시키는 $n$ 의 값들을 찾으면 됩니다. $$4 < \dfrac{\sqrt{4n+8}-1}{2} \le 5$$

위 부등식을 풀어주면 $$9 < \sqrt{4n+8} \le 11$$ $$ 81<4n+8\le 121$$ $$ 73 < 4n \le 113$$ $$ 18.2 \cdots < n \le 28.2\cdots$$

따라서 $n$ 의 최솟값과 최댓값은 각각 $19$ 와 $28$ 이 됩니다.

결국 정답은 $19+28=47$ 입니다.