실수 t 에 대하여 함수 p(x)={2f(x)−g(x)−h(x)}2−h(x)∣x−t∣(−1≤x≤1) 의 최댓값을 q(t) 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. 함수 y=∣q(t)∣ 의 극값은 2개 존재한다.
ㄴ. 함수 y=∣q(t)∣ 의 미분불가능한 점은 4 개 존재한다.
ㄷ. ∫−22q(t)dt=∫−11q(t)dt
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 ④
모든 실수 x,y 에 대해서 f(xy+1)=xg(y)+h(x+y) 가 성립하므로 x=0 을 대입하면 f(1)=h(y),∴h(x)=2(∵f(1)=2)y=1 을 대입하면 f(x+1)=x⋅g(1)+h(x+1),∴f(x+1)=x+2 결국 f(x)=x+1 이 된다. 또한 x=1 을 대입하면 f(y+1)=g(y)+h(y+1),∴g(y)=f(y+1)−2 결국 g(x)=x 가 된다. 따라서 p(x)=x2−2∣x−t∣ 가 되고,
t≥1 일 때는 −1≤x≤1 에서 ∣x−t∣≤0 이므로 p(x)=x2+2x−2t 가 되고, 이 경우는 x=1 일 때가 최대이므로 q(t)=−2t+3,
t≤−1 일 때는 −1≤x≤1 에서 ∣x−t∣≥0 이므로 p(x)=x2−2x+2t 가 되고, 이 경우는 x=−1 일 때가 최대이므로 q(t)=2t+3,
−1<t<1 일 때는
x<t 이면 ∣x−t∣<0 이므로 p(x)=x2+2x−2t,
x≥t 이면 ∣x−t∣≥0 이므로 p(x)=x2−2x+2t
가 된다. 이 경우는 그림에서와 같이 x=t 에서 최대를 갖게 되므로 q(t)=t2 이 되다.
따라서 정리하면 q(t)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧22t+3t2−2t+3(t≤−1)(−1<t<1)(t≥1) 가 되고 그래프를 그려보면 다음과 같다.
따라서
ㄱ. y=∣q(t)∣ 의 극값은 5개 존재하고,
ㄴ. y=∣q(t)∣ 의 미분불가능 점은 4개이며,
ㄷ. ∫−2−1q(t)dt=∫12q(t)dt=0 이므로 ∫−22q(t)dt=∫−11q(t)dt 이다.