삼각함수 극한의 활용_난이도 상 (2016년 8월 대구교육청 가형 20번)

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 점 $\rm P$ 에서 이 반원에 접하는 직선과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\rm \angle PAB=\theta$ 라 하고 직선 $\rm PQ$ 와 직선 $\rm BQ$, 호 $\rm PB$ 에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{r(\theta)}{\theta ^2}$ 의 값은? (단, $0<\theta < \dfrac{\pi}{4}$ 이다.)

① $\dfrac{1}{16}$          ② $\dfrac{1}{8}$          ③ $\dfrac{3}{16}$          ④ $\dfrac{1}{4}$          ⑤ $\dfrac{5}{16}$   

정답 ④