도형의 이동 & 축에 접하는 원의 방정식_난이도 상

그림과 같이 좌표평면에서 세 점 $\rm O(0, \;0), \;A(4, \;0), \; B(0, \;3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm OAB$ 를 평행이동한 도형을 삼각형 $\rm O'A'B'$ 이라 하자. 점 $\rm A'$ 의 좌표가 $(9, \;2)$ 일 때, 삼각형 $\rm O'A'B'$ 에 내접하는 원의 방정식은 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ 이다. $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \;b,\;c$ 는 상수이다.)

정답 $26$

먼저 삼각형 $\rm OAB$ 에 내접하는 원의 방정식을 구한 다음 이 원을 $x$ 축의 방향으로 $5$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동 시킨 원의 방정식을 구하면 된다. ($\because \rm A \rightarrow A'$ 로 이동한 양 만큼 평행이동 하면 됨)

$x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하면서 중심이 제$1$사분면에 있는 원의 반지름을 $r$ 이라고 하면 그 방저식은 $$(x-r)^2 +(y-r)^2=r^2$$ 이 된다. 이 원이 직선 $\rm AB$ 에도 접해야 한다. 따라서 원의 중심 $(r, \; r)$ 로 부터 직선 $3x+4y-12=0$ 까지의 거리가 원의 반지름 $r$ 과 같아야 한다. (직선 $\rm AB$ 의 방정식이 $3x+4y-12=0$)

$$\dfrac{|3r+4r-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r$$

$\therefore r=6$ 또는 $r=1$

원이 삼각형 $\rm OAB$ 에 내접하기 위해서는 $r=1$

따라서 삼각형 $\rm OAB$ 에 내접하는 원의 방정식은 $$(x-1)^2+(y-1)^2=1$$ 이 된다. 이 원을 $x$ 축의 방향으로 $5$만큼, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동시킨 원의 방정식은 $$(x-6)^2+(y-3)^2=1$$ 이고, 이를 원의 방정식의 일반형으로 바꾸면 $$x^2+y^2-12x-6y+44=0$$ 이 된다.

결국 $a=-12, \; b=-6, \; c=44$ 이다.

$\therefore a+b+c=26$