직선의 수직과 평행 & 대칭이동_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $12$ 인 정사각형 $\rm OABC$ 모양의 종이를 점 $\rm O$ 가 원점에, 두 점 $\rm A, \; C$ 가 각각 $x$축, $y$축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다. 두 점 $\rm D, \;E$ 는 각각 두 선분 $\rm OC, \; AB$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점이고, 선분 $\rm OA$ 위의 점 $\rm F$ 에 대하여 $\overline{\rm OF}=5$ 이다.

선분 $\rm OC$ 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm PQ$ 를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 $\rm O$ 는 선분 $\rm BC$ 위의 점 $\rm O'$ 으로, 점 $\rm F$ 는 선분 $\rm DE$ 위의 점 $\rm F'$ 로 옮겨졌다. 이때 좌표평면에서 직선 $\rm PQ$ 의 방정식은 $y=mx+n$ 이다. $m+n$ 의 값은? (단, $m, \;n$ 은 상수이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

① $6$          ② $\dfrac{25}{4}$          ③ $\dfrac{13}{2}$          ④ $\dfrac{27}{4}$          ⑤ $7$

정답 ⑤

위 그림처럼 점 $\rm O'$의 좌표를 $(a, \; 12)$, 점 $\rm F'$ 의 좌표를 $(b, \; 8)$ 이라고 하자. 또 점 $\rm O'$ 에서 선분 $\rm DE$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라고 하면 $\overline{\rm O'H}=4, \; \overline{\rm O'F'}=5$ 이므로 피타고라스의 정리에 의하여 $\overline{\rm HF'}=3$ 이다. ($\because \overline{\rm OF}=\overline{\rm O'F'}$ )

$\therefore b=a+3\;\; \cdots\cdots①$

또한 $\overline{\rm OO'}$ 와 $\overline{\rm FF'}$ 는 모두 $\overline{\rm PQ}$ 에 수직이므로 $\overline{\rm OO'} // \overline{\rm FF'}$이다. 즉, 직선 $\rm OO'$ 의 기울기와 직선 $\rm FF'$ 의 기울기가 서로 같다.

$\dfrac{12-0}{a-0} = \dfrac{8-0}{b-5}$

$\therefore 2a-3b=-15 \;\; \cdots\cdots②$

①, ② 를 연립하여 풀면 $a=6, \; b=9$ 가 된다. 

따라서 직선 $\rm OO'$와 직선 $\rm FF'$ 의 기울기는 모두 $2$ 이고, 직선 $\rm PQ$ 의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$ 이다.

또한 직선 $\rm PQ$ 는 점 $\rm O$ 와 점 $\rm O'$ 의 중점인 점 $\rm M(3, \;6)$ 을 지나므로 직선 $\rm PQ$ 의 방정식은

$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)+6$

$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{15}{2}$ 

가 된다. 결국 $m=-\dfrac{1}{2}, \; n=\dfrac{15}{2}$ 이다.

$\therefore m+n=7$