내분점 & 점과 직선 사이의 거리_난이도 상

그림과 같이 좌표평면에 세 점 $\rm O(0, \;0), \; A(8, \;4), \; B(7, \;a)$ 와 삼각형 $\rm OAB$ 의 무게중심 $\rm G(5, \;b)$ 가 있다. 점 $\rm G$ 와 직선 $\rm OA$ 사이의 거리가 $\sqrt{5}$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 는 정수이다.)

① $16$          ② $17$          ③ $18$          ④ $19$          ⑤ $20$

정답 ①

무게중심의 좌표에서 $\dfrac{0+a+4}{3}=b \;\; \cdots\cdots ①$

또한 직선 $\rm OA$ 의 방정식은 $x-2y=0$ 이므로 점 $G$ 에서 직선 $\rm OA$ 까지의 거리에서 $\dfrac{|5-2b|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

$5-2b=\pm 5$

$\therefore b=5$, 혹은 $b=0$

점 $\rm G$ 의 $y$ 좌표가 $0$ 이 될 수는 없으므로 $b=5$

$b=5$ 를 ①에 대입하면 $a=11$

$\therefore a+b=16$