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무리수가 같을 조건_난이도 중 본문

(9차) 수학 II 문제풀이/무리식과 무리함수

무리수가 같을 조건_난이도 중

수악중독 2016. 6. 19. 17:39

자연수 $n$ 에 대하여 $\sqrt{n}$ 이 무리수일 때, $\sqrt{n}=a+b$ ($a$는 자연수, $0<b<1$) 라 하자. 다음은 $a^3-9ab+b^3=0$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 값을 구하는 과정이다. 


$\sqrt{n}=a+b$ ($a$ 는 자연수, $0<b<1$) 이므로

   $b=\sqrt{n}-a$

$\begin{aligned}a^3-9ab+b^3 &= a^3-9a \left ( \sqrt{n}-a \right ) + \left ( \sqrt{n}-a \right ) ^3 \\ &= \left ( 3a^2-9a+n \right ) \sqrt{n}+9a^2 + ( 가 ) \times a \\ &=0 \end{aligned}$

무리수가 서로 같을 조건에 의하여

   $3a^2-9a+n=0\;\; \cdots \cdots \; ㉠$

   $9a^2+(가) \times a=0 \;\; \cdots \cdots \; ㉡$

㉠, ㉡ 에서 $n$ 을 소거하면

   $9a^3+(나)=0 \;\;\; \therefore a=2$

따라서 $n=6$


위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \;g(a)$ 라 할 때, $\dfrac{g(2)}{f(2)}$ 의 값은?


① $12$          ② $13$          ③ $14$          ④ $15$          ⑤ $16$






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