쌍곡선 접선의 방정식_곡선 밖의 한 점이 주어진 경우_난이도 중

좌표평면 위의 점 \( (-1, \;0)\) 에서 쌍곡선 \(  x^2 - y^2 =2\) 에 그은 접선의 방정식을 \(y=mx+n\) 이라 할 때, \( m^2 +n^2\) 의 값은? (단, \(m, \; n\) 은 상수이다.)

① \(\dfrac{5}{2}\)          ② \(3\)          ③ \(\dfrac{7}{2}\)          ④ \(4\)          ⑤ \(\dfrac{9}{2}\)

정답 \(4\)

쌍곡선 \(x^2 - y^2=2\) 에 접하면서 기울기가 \(m\) 인 접선의 방정식은 \( y=mx \pm \sqrt{2m^2-2}\) 가 된다. 이 직선이 점 \((-1, \;0)\) 을 지나야 하므로 \[m=\pm \sqrt{2m^2-2}\]  양변을 제곱하면 \[m^2=2m^2-2\] 따라서 \(m^2=2\) 가 된다.

또한 \(n=\pm \sqrt{2m^2-2}\) 이므로 \(n^2=2\) 가 된다.

\(\therefore m^2 + n^2 = 4\)