도함수의 활용

접선의 방정식

롤의 정리 (Rolle's Theorem)

함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a, \; b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능할 때, $ f(a)=f(b)$ 이면 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

(1) 함수 $f(x)$ 가 상수함수인 경우

$f(x)=k$ ($k$ 는 상수) 이면 $f'(x)=0$ 이다. 따라서 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 이고, 이는 곧 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 반드시 존재함을 의미한다.

(2) 함수 $f(x)$ 가 상수함수가 아닌 경우

이 경우 함수 $f(x)$ 는 최대최소의 정리로부터 구간의 양 끝점 $a, \; b$ 가 아닌 점에서 최댓값 혹은 최솟값을 적어도 하나 갖게 된다. 

▶ 함수 $f(x)$ 가 $x=c$ $(a<c<b)$ 에서 최댓값을 갖는 경우 

열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 $f(c)$ 가 최댓값이므로 $a<t<b$ 인 모든 $t$ 에 대하여 $f(t) \le f(c)$ 가 성립한다. 

$$t<c \; 일 때,\; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0\; 이므로 \; \lim \limits_{t \to c-} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0 \\[15pt] t>c \; 일 때, \; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0\; 이므로 \;\lim \limits_{t \to c+} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0$$

이때, 함수 $f(x)$ 는 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능한 함수이므로 당연히 $x=c$ 에서도 미분이 가능하고, 이것은 곧 위의 좌극한과 우극한이 서로 같아야 함을 의미한다. $$\therefore f'(c)=\lim \limits_{t \to c} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c}=0$$

▶ 함수 $f(x)$ 가 $x=c$ $(a<c<b)$ 에서 최솟값을 갖는 경우

열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 $f(c)$ 가 최솟값이므로 $a<t<b$ 인 모든 $t$ 에 대하여 $f(t) \ge f(c)$ 가 성립한다. 

$$t<c \; 일 때,\; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0\; 이므로 \; \lim \limits_{t \to c-} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0 \\[15pt] t>c \; 일 때, \; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0\; 이므로 \;\lim \limits_{t \to c+} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0$$

이때, 함수 $f(x)$ 는 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능한 함수이므로 당연히 $x=c$ 에서도 미분이 가능하고, 이것은 곧 위의 좌극한과 우극한이 서로 같아야 함을 의미한다. $$\therefore f'(c)=\lim \limits_{t \to c} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c}=0$$

따라서 닫힌 구간 $[a, \; b]$ 에서 연속이고, 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능한 함수에 대하여 롤의 정리가 성립함을 알 수 있다.

평균값의 정리

함수의 증가와 감소

극대와 극소

극대와 극소의 판정

삼차함수 그래프 그리기

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삼차 함수 그래프의 특징

사차함수 그래프 그리기

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사차함수 그래프의 특징

최대, 최소와 미분

 

방정식과 미분

부등식과 미분

속도와 가속도

도함수의 활용 심화 개념

미분의 활용 - 삼각형 넓이의 최댓값 (이차함수편)

미분의 활용 - 삼각형 넓이의 최댓값 (삼차함수편)