삼차함수 그래프의 특징

함수의 오목과 볼록 그리고 변곡점에 대한 보다 상세한 내용을 알면 도움이 됩니다.

아래 영상을 확인하시기 바랍니다.

 

 

 

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일반적으로 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 개형은 다음 세 가지 중 하나이다. 다른 개형은 존재하지 않기 때문에 이 세가지만 기억하고 있으면 된다.  

 

 

 

1. 극댓값과 극솟값을 모두 갖는 경우 (\(f'(x)=0\) 이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우)

 

 

가장 시험에 많이 등장하는 유형의 그래프이다. 극댓값과 극솟값이 모두 존재하며 우리가 삼차함수의 그래프를 생각할 때 떠 올리는 그래프이다.

예를 들면, \(f(x) = x^3 - x\) 와 같은 경우이다. 

 

 

 

 

2. 극댓값과 극솟값을 모두 갖지 않는 경우 (\(f'(x)=0\) 이 중근을 갖는 경우)

 

\(f'(x) = 0\) 이 중근을 갖기 때문에 접선의 기울기가 \(0\)이 되는 점은 존재하지만, 극댓값이나 극솟값을 갖지는 않는다. 증가함수의 모습을 보여준다. 시험에 두 번째로 많이 등장하는 그래프이다.

 

예를 들면, \(f(x)=x^3\) 과 같은 경우이다. \(f'(x)=3x^2\) 으로 \(f'(x)=0\) 이 중근을 갖는다.

 

그래프의 개형이 이와 같은 삼차함수는 \(y=kx^3\) (단, \(k\) 는 상수) 를 평행이동한 형태의 함수식을 갖는다. 즉, \(f(x)=k(x-\alpha)^3 + \beta\) 의 꼴이 된다. (\(y=kx^3\) 의 변곡점의 좌표가 \((0, \;0)\) 이었기 때문에 \(y=k(x-\alpha)^3+\beta\) 의 변곡점의 좌표는 \((\alpha, \; \beta)\) 가 된다.)

 

 

 

3. 극댓값과 극솟값을 모두 갖지 않는 경우 (\(f'(x)=0\) 이 실근을 갖지 않는 경우)

 

 

 

극댓값이나 극솟값은 물론이고 \(f'(x) =0\) 인 점도 존재하지 않는다. 역시 증가함수의 모습을 보여준다. 시험에는 자주 등장하지 않는다. 

예를 들면, \(f(x)=x^3+x\) 와 같은 이다. \(f'(x)=3x^2+1\) 로 \(f'(x)=0\) 이 실근을 갖지 않는다. 

 

 

그런데 이 세가지 그래프가 모두 하나의 공통점을 갖고 있는데, 그래프가 점대칭 도형이라는 것이다. 그렇다면 그 대칭의 중심점이 어디인지가 중요한데, 그 점이 바로 변곡점이다. 변곡점은 이름 그대로 굽음이 변하는 점인데, 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변하는 경계점을 말한다. 아직도 무슨 말인지 모르겠다면 다음의 그래프를 보자. 

 

 

위 그림에서 검은색 그래프는 \(y=f(x)\) 의 그래프를 나타내고 빨간색 그래프는 \(y=f'(x)\) 의 그래프를 나타낸다. "극대 극소와 미분" 단원에서 배웠듯이 \(f'(x)=0\) 인 지점에서 \(f(x)\) 가 극댓값 또는 극솟값을 갖게 된다. 그림에서 파란색 점선이 나타내는 지점들이 바로 극대 혹은 극소를 갖게 되는 지점들이다. 또한 \(f'(x)\) 는 삼차함수의 도함수이므로 이차함수가 되고, 이차함수는 모두 대칭축을 갖게 된다. 회색 점선이 나타내는 것이 바로 \(y=f'(x)\) 그래프의 대칭축이다. 대칭축은 \(y=f'(x)\) 가 최소가 되는 지점이기도 하다. 이 대칭축이 \(y=f(x)\) 의 그래프와 만나는 점이 바로 변곡점이다. 이 점의 왼쪽은 위로 볼록, 오른쪽은 아래로 볼록인것을 확인할 수 있을 것이다. 즉, 삼차함수에서 변곡점을 갖는 지점은 도함수가 최솟값을 갖는 지점과 동일하다.  바로 이 변곡점이 삼차함수 그래프의 대칭의 중심점이 된다. 삼차함수의 그래프를 이해할 때, 대칭의 중심점인 변곡점을 기준으로 생각하면 도움이 되는 경우가 많다. 반드시 알고 있어야 한다.

 

2번의 경우도 변곡점은 존재한다. 

 

 

위 그림의 검은색 그래프는 삼차함수 \(y=x^3\)를 빨간색 그래프는 도함수 \(y=3x^2\) 의 그래프를 나타낸다. 마찬가지로 도함수의 대칭축인 \(x=0\) 에서 변곡점을 갖게 된다. 역시 이 점이 삼차함수 그래프 대칭의 중심점이 된다. 

 

3번의 경우도 마찬가지다. 

 

 

위 그림의 검은색 그래프는 삼차함수 \(y=x^3+x\) 의 그래프를 빨간색 그래프는 도함수 \(y=3x^2+1\) 의 그래프를 나타낸다. 도함수의 대칭축인 \(x=0\) 에서 변곡점을 갖는 것을 볼 수 있다. 이 역시 삼차함수 그래프 대칭의 중심점이 된다. 

 

여러분이 꼭 알아야 할 것은 삼차함수 그래프의 개형이 세 가지 밖에 없다는 것이고, 이들이 모두 변곡점을 대칭의 중심점으로 하는 점 대칭 도형이라는 것이다.  

 

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극댓값 혹은 극솟값이 0인 삼차함수의 특징