2016학년도 수능 B형 21번 - 미분법

$0<t<41$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=x^3 +2x^2-15x+5$ 와 직선 $y=t$ 가 만나는 세 점 중에서 $x$ 좌표가 가장 큰 점의 좌표를 $\left ( f(t), \;t \right )$, $x$ 좌표가 가장 작은 점의 좌표를 $\left ( g(t), \; t \right )$ 라 하자. $h(t) = t \times \{ f(t) - g(t) \}$ 라 할 때, $h'(5)$ 의 값은?

① $\dfrac{79}{12}$          ② $\dfrac{85}{12}$          ③ $\dfrac{91}{12}$          ④ $\dfrac{97}{12}$          ⑤ $\dfrac{103}{12}$          

정답 ④

$h'(t)= \{ f(t)-g(t) \} + t \times \{ f'(t) - g'(t) \}$ 가 된다. 따라서 $h'(5) = \{ f(5)-g(5) \} + 5 \times \{f'(5)-g'(5) \}$ 를 구하면 된다.

 

먼저 $t=5$ 일 때는 삼차방정식 $x^3+2x^2-15x+5=5$ 의 세 근 중 가장 큰 근이 $f(5)$, 가장 작은 근이 $g(5)$ 가 된다. 위 삼차방정식은 $x(x-3)(x+5)=0$ 이 되므로 $f(5)=3, \; g(5)=-5$ 가 된다. 

또한 $y$ 가 $x$ 에 대한 함수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다. $y(x) = x^3 + 2x^2 -15x +5$ 문제에서 $y=t$ 일 때, $x=f(t)$ 라고 했으므로 $y(f(t))=t$ 로 표현할 수 있다. 위 식의 양변을 $t$ 에 대해서 미분하면 $y'(f(t)) \times f'(t) = 1$ 이므로 $f'(5) = \dfrac{1}{y'(f(5))}$ 임을 알 수 있다. 이때, $y'(x) = 3x^2 + 4x-15$ 이고 $f(5)=3$ 이므로 $f'(5) = \dfrac{1}{27+12-15} = \dfrac{1}{24}$ 이 된다.

같은 방법으로 $g'(5) = \dfrac{1}{75-20-15}=\dfrac{1}{40}$ 이 된다.

따라서 $\begin{aligned} h'(5) &= \{ 3-(-5)\} + 5 \times \left ( \dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{40} \right ) \\ &= 8 + 5 \times \dfrac{1}{60} \\ &= \dfrac{97}{12} \end{aligned}$ 이 된다.