수학2_미분_함수의 그래프와 미분_난이도 상

양수 $a$ 와 두 실수 $b, \;c$ 에 대하여 함수 $f(x)= \left ( ax^2 +bx+c \right ) e^x$ 은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)$ 는 $x=-\sqrt{3}$ 과 $x=\sqrt{3}$ 에서 극값을 갖는다.

(나) $0 \le x_1 < x_2$ 인 임의의 두 실수 $x_1 , x_2$ 에 대하여

        $f(x_2) - f(x_1) +x_2 -x_1 \ge 0$ 이다.

세 수 $a, \;b, \;c$ 의 곱 $abc$ 의 최댓값을 $\dfrac{k}{e^3}$ 라 할 때, $60k$ 의 값을 구하시오.

정답 $15$

평균값의 정리에 대한 개념이 있는 분이라면 $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(c)$ 를 만족하는 $c$ 가 구간 $(x_1, x_2)$ 에 적어도 하나 이상 존재한다를 이용하여도 됩니다.