2016학년도 수능 B형 29번 - 벡터 내적의 최댓값

좌표공간의 두 점 $\rm A \left ( 2,\; \sqrt{2}, \; \sqrt{3} \right ), \;\; B \left ( 1, \; -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{3} \right )$에 대하여 점 $\rm P$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left | \overrightarrow {\rm AP} \right | =1$

(나) $\overrightarrow{\rm AP}$ 와 $\overrightarrow{\rm AB}$ 가 이루는 각의 크기는 $\dfrac{\pi}{6}$ 이다. 

중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$ 인 구 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{33}$ 이다. $16 \left (a^2 + b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.)

정답 $50$

전형적인 꼬리에 꼬리를 무는 벡터합 문제이다. 즉, $\overrightarrow{\rm AQ} = \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm OQ}$ 로 분해하여 생각하면 쉽게 풀린다. 

$\begin{aligned} \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ} &= \overrightarrow{\rm AP} \cdot  \left ( \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm OQ} \right ) \\ &= \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} \end{aligned}$ 이제 우리는 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AO}$ 의 최댓값만 찾으면 된다. $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}$ 의 경우 $\overrightarrow{\rm OQ}$ 벡터를 $\overrightarrow{\rm AP}$ 와 같은 벡터로 만드는 것이 가능하므로 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}$ 의 최댓값은 $1$ 이 되기 때문이다. 

여기서 몇 가지 사실을 짚고 넘어가자.

1) $\overrightarrow{\rm AB} = \left (-1, \; -2\sqrt{2}, \; \sqrt{3} \right ),\;\; \overrightarrow{\rm AO}= \left ( -2, \; -\sqrt{2}, \;-\sqrt{3} \right )$ 이다. 

2) $\overrightarrow{\rm AB}$ 와 $\overrightarrow{\rm AO}$ 가 이루는 각의 크기를 $\alpha$ 라고 하면 $\cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AO} }{ \left | \overrightarrow{\rm AB} \right | \times  \left | \overrightarrow{\rm AO} \right | } = \dfrac{2 + 4 -3}{2 \sqrt{3} \times 3} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

3) $\left | \overrightarrow{\rm AP} \right | =1,\;\; \left | \overrightarrow{\rm AO} \right |=3$ 이기 때문에, 두 벡터가 이루는 각의 크기가 최소일 때, 두 벡터의 내적은 최대가 된다. 두 벡터가 이루는 각의 최솟값을 $\theta$ 라고 하면 $\theta= \alpha - \dfrac{\pi}{6}$ 이 된다는 것을 알 수 있다. (평면 $\rm OAB$ 위에 점 $\rm P$ 를 잡는다고 생각하면 쉽게 이해가 갈 것이다.) $\begin{aligned} \therefore \cos \theta &= \cos \left ( \alpha - \dfrac{\pi}{6} \right ) \\ &= \cos \alpha \cdot \cos \dfrac{\pi}{6} + \sin \alpha \cdot \sin \dfrac{\pi}{6} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{11}}{4 \sqrt{3}} \end{aligned}$

(4) 따라서 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AO}$ 의 최댓값은 $3 \times 1 \times \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{11}}{4\sqrt{3}} \right )  = \dfrac{3+\sqrt{33}}{4}$ 이 된다.

위의 사실들로부터 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값은 $\dfrac{3+\sqrt{33}}{4} + 1 = \dfrac{7+\sqrt{33}}{4}$ 임을 알 수 있다. 따라서 $a= \dfrac{7}{4}, \;\; b=\dfrac{1}{4}$ 이 된다.

$\therefore 16 \left ( a^2 + b^2 \right ) = 16 \left ( \dfrac{49}{16} + \dfrac{1}{16} \right ) = 50$