좌표공간의 두 점 \(\rm A \left ( 2,\; \sqrt{2}, \; \sqrt{3} \right ), \;\; B \left ( 1, \; -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{3} \right )\)에 대하여 점 \(\rm P\) 는 다음 조건을 만족시킨다.
(나) \(\overrightarrow{\rm AP}\) 와 \(\overrightarrow{\rm AB}\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다.
중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}\) 의 최댓값이 \(a+b\sqrt{33}\) 이다. \(16 \left (a^2 + b^2 \right )\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \; b\) 는 유리수이다.)
정답 \(50\)
전형적인 꼬리에 꼬리를 무는 벡터합 문제이다. 즉, \(\overrightarrow{\rm AQ} = \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm OQ}\) 로 분해하여 생각하면 쉽게 풀린다.
\[\begin{aligned} \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ} &= \overrightarrow{\rm AP} \cdot \left ( \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm OQ} \right ) \\ &= \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AO} + \overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} \end{aligned}\] 이제 우리는 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AO}\) 의 최댓값만 찾으면 된다. \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}\) 의 경우 \(\overrightarrow{\rm OQ}\) 벡터를 \(\overrightarrow{\rm AP}\) 와 같은 벡터로 만드는 것이 가능하므로 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}\) 의 최댓값은 \(1\) 이 되기 때문이다.
2) \(\overrightarrow{\rm AB}\) 와 \(\overrightarrow{\rm AO}\) 가 이루는 각의 크기를 \(\alpha\) 라고 하면 \[ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AO} }{ \left | \overrightarrow{\rm AB} \right | \times \left | \overrightarrow{\rm AO} \right | } = \dfrac{2 + 4 -3}{2 \sqrt{3} \times 3} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \]
3) \( \left | \overrightarrow{\rm AP} \right | =1,\;\; \left | \overrightarrow{\rm AO} \right |=3\) 이기 때문에, 두 벡터가 이루는 각의 크기가 최소일 때, 두 벡터의 내적은 최대가 된다. 두 벡터가 이루는 각의 최솟값을 \(\theta\) 라고 하면 \(\theta= \alpha - \dfrac{\pi}{6}\) 이 된다는 것을 알 수 있다. (평면 \(\rm OAB\) 위에 점 \(\rm P\) 를 잡는다고 생각하면 쉽게 이해가 갈 것이다.) \[ \begin{aligned} \therefore \cos \theta &= \cos \left ( \alpha - \dfrac{\pi}{6} \right ) \\ &= \cos \alpha \cdot \cos \dfrac{\pi}{6} + \sin \alpha \cdot \sin \dfrac{\pi}{6} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{11}}{4 \sqrt{3}} \end{aligned} \]
(4) 따라서 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AO}\) 의 최댓값은 \(3 \times 1 \times \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{11}}{4\sqrt{3}} \right ) = \dfrac{3+\sqrt{33}}{4}\) 이 된다.
위의 사실들로부터 \(\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}\) 의 최댓값은 \(\dfrac{3+\sqrt{33}}{4} + 1 = \dfrac{7+\sqrt{33}}{4}\) 임을 알 수 있다. 따라서 \(a= \dfrac{7}{4}, \;\; b=\dfrac{1}{4}\) 이 된다.
