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사차함수 그래프의 특징 본문

(9차) 미적분 I 개념정리

사차함수 그래프의 특징

수악중독 2017.01.26 01:35




최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 개형은 다음과 같이 5가지가 있다.


1. 극댓값 1개와 극솟값 2개가 존재 - 극솟값이 서로 다른 경우


가장 일반적인 형태의 사차함수 그래프이다. 시험에 가장 많이 등장하는 그래프이지만 난이도가 높은 문제로 출제되지는 않는다. 그러나 반드시 알고 있어야 하는 그래프이다.


2. 극댓값 1개와 극솟값 2개가 존재 - 극솟값이 서로 같은 경우


극소가 되는 점의 \(x\) 좌표를 각각 \(\alpha, \; \beta\) 라고 그 함수식은 \[f(x) = k(x- \alpha)^2(x- \beta)^2 +C \;\; (단, \; k>0,\; C는\; 상수) \] 가 된다. 이때 극솟값은 \(C\) 가 된다. 또한 극댓값은 \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) 에서 갖게되며, \(f'(x)=0\) 의 서로 다른 세 근은 등차수열을 이루게 된다. 즉, 이 그래프는 \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) 를 대칭축으로좌우가 대칭인 그래프이다. 




[미적분과 통계기본 질문과 답변/미분] - 미적분과 통계기본_미분_극대 극소와 미분_난이도 중

[미적분과 통계기본 질문과 답변/미분] - 미적분과 통계기본_극대 극소와 미분_난이도 중



3. 극솟값을 하나만 존재 - \(f'(x)=0\) 이 서로 다른 두 근을 갖고 그 중 하나가 중근인 경우 


그림에서처럼 \(f'(x)=0\) 이 되는 점이 두 개가 존재하지만 그 중 하나는 극대 극소가 아닌 변곡점이 된다. 변곡점에서는 \(f'(x)=0\) 이 중근을 갖게 된다. 변곡점과 극솟점의 \(x\) 좌표를 각각 \(\alpha, \; \beta\) 라고 하면 \(f'(x)=k(x-\alpha)^2(x-\beta)\) 의 꼴을 갖는다. 주로 \(|f(x)-f(\alpha)|\) 의 그래프에 대한 문제가 출제된다. 



[미적분과 통계기본 질문과 답변/미분] - 미적분과 통계기본_미분_함수의 그래프와 미분_난이도 상

[미적분과 통계기본 질문과 답변/미분] - 미적분과 통계기본_미분_함수의 그래프와 미분_난이도 중



4. 극솟값이 하나만 존재 - \(f'(x)=0\) 이 허근 두 개와 실근 하나를 갖는 경우

 


3번 그래프와 비슷하게 보이지만 \(f'(x)=0\) 이 되는 점은 극소일 때 한군데 밖에는 없다. 시험에 잘 출제되지는 않는다.

$f(x)=x^4+2x^2$ 처럼 짝함수의 형태를 가지며 극솟값만을 갖는 사차함수도 존재한다. (위의 오른쪽 그래프) 


5. 극솟값이 하나만 존재 - \(f'(x)=0\) 이 삼중근을 갖는 경우


마치 이차함수의 그래프 모양만 비슷하며, 극소가 되는 점의 \(x\) 좌표를 \(\alpha\) 라고 하면 \(f'(x) = k(x-\alpha)^3\) 의 형태를 갖는다. 역시 \(x=\alpha\) 를 대칭축으로 좌우가 대칭인 특징을 갖는다. 시험에는 잘 출제되지 않는다.  






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