수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

좌표평면 위에 점 \(\rm P_1 (2,\;0)\) 이 있다. 삼각형 \(\rm OP_1 Q_1\) 이 정삼각형이 되도록 제\(1\)사분면 위의 점 \(\rm Q_1\) 을 잡는다.

선분 \(\rm OQ_1\) 의 중점을 \(\rm P_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm OP_2 Q_2\) 가 정삼각형이 되도록 정삼각형 \(\rm OP_1 Q_1\) 의 외부에 점 \(\rm Q_2\) 를 잡는다.

선분 \(\rm OQ_2\) 의 중점을 \(\rm P_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm OP_3 Q_3\) 이 정삼각형이 되도록 정삼각형 \(\rm OP_2 Q_2\) 의 외부에 점 \(\rm Q_3\) 를 잡는다.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점 \(\rm Q_{\it n}\) 의 좌표를 \((x_n ,\; y_n)\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n y_n\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.)

 

① \(\dfrac{16\sqrt{3}}{21}\)          ② \(\dfrac{17\sqrt{3}}{21}\)          ③ \(\dfrac{19\sqrt{3}}{21}\)          ④ \(\dfrac{20\sqrt{3}}{21}\)          ⑤ \(\dfrac{22\sqrt{3}}{21}\)         

 

 

정답 ①